ANALISI MATEMATICA 1 (Canale 3, Padova)
Docente: Valentina Casarino
Diario delle lezioni
Lezione 1 (Lunedi' 10 Ottobre):
Insiemi, insiemi numerici, operazioni sugli insiemi.
Leggi di de Morgan.
Elementi di logica.
Esistenza di numeri irrazionali.
(Lezione tenuta dal Prof. Colombo)
Lezione 2 (Martedi' 11 Ottobre):
Simbolo di
sommatoria. Somma di una progressione geometrica.
Definizione di insiemi superiormente e inferormente limitati.
Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di R. Proprietà caratteristica di sup e inf. Esempi.
(Lezione tenuta dal Prof. Colombo)
Lezione 3 (Giovedi' 12 Ottobre):
Trasformazioni del piano. Effetto delle trasformazioni del piano sul grafico di funzioni
(parabole e iperboli).
(Lezione tenuta dal Prof. Ciatti).
Lezione 4 (Venerdi' 14 Ottobre):
Disuguaglianza di Bernoulli.
Definizione di fattoriale e coefficienti binomiali.
Il binomio di Newton.
Esercizi su estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di R, utilizzando la proprietà caratteristica.
Lezione 5 (Lunedi' 17 Ottobre):
Definizione di funzione. Dominio, codominio, grafico.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive.
Immagine e controimmagine di un insieme (con esercizi).
Lezione 6 (Mercoledi' 19 Ottobre):
Definizione di funzione composta. Dominio
e codominio di funzioni composte.
Funzioni invertibili su tutto il dominio.
Determinazione della funzione inversa e grafico.
Lezione 7 (Giovedi' 20 Ottobre):
Funzioni localmente invertibili.
Funzioni potenza e radice
(con esercizi).
Definizione ed esempi di funzioni limitate, monotone e simmetriche.
Lezione 8 (Venerdi' 21 Ottobre):
Funzioni elementari.
Polinomi, funzioni razionali, esponenziale e logaritmo, funzioni
trigonometriche, inverse delle funzioni trigonometriche, funzioni
iperboliche, parte intera e mantissa.
Lezione 9 (Lunedi' 24 Ottobre):
Definizione di successione.
Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.
Verifiche di limite.
Successioni monotone.
Teorema sulle successioni monotone, con dimostrazione.
Lezione 10 (Mercoledi' 26 Ottobre):
Algebra dei limiti (con dim.).
Teorema di permanenza del segno (con dim.).
Teorema di confronto (con dim.).
Lezione 11 (Giovedi' 27 Ottobre):
Teorema: La successione (1+1/n)^n
converge (con dim.).
Il numero e.
Esercizi.
Lezione 12 (Venerdi' 28 Ottobre):
Ordine di infinito e infinitesimo per successioni.Successioni
asintotiche (dimostrazione delle principali proprietà).
Gerarchia degli infiniti (senza dim.).
Criterio del confronto (senza dim.).
Lezione 13 (Mercoledi' 2 Novembre):
Definizione successionale di limite di funzione.
Teorema di unicità del limite.
Limiti per eccesso e per difetto. Limiti laterali.
Funzioni continue.
Classificazione delle discontinuità.
Lezione 14 (Giovedi' 3 Novembre):
Definizione topologica di limite.
Algebra dei limiti di funzioni (con dim.).
Limiti di polinomi e funzioni razionali.
Lezione 15 (Venerdi' 4 Novembre):
Teorema di confronto (con dim.). Limiti notevoli (con dim.).
Teorema di permanenza del segno (senza dim.).
Teorema di sostituzione (con dim.). Esempi.
Lezione 16 Lunedi' 7 Novembre):
Funzioni continue. Teorema sulla continuit&afrave della funzione
composta (con dim.).
Continuità delle funzioni
trigonometriche (con dim.)
Asintoti: definizioni e procedura per calcolarli.
Lezione 17 (Mercoledi' 9 Novembre):
Definizione di f^g. Definizione di funzione potenza x^a,
con a reale.
Limiti legati al numero e di Nepero.
Gerarchia degli infiniti (senza dim.).
Stime asintotiche.
Lezione 18 (Giovedi' 10 Novembre):
Esercizi di ricapitolazione sui limiti.
Il Teorema di Weierstrass (senza dim.).
Lezione 19 (Venerdi' 11 Novembre):
Teorema di esistenza degli zeri (con dim.).
Teorema dei valori intermedi
(con dim.). L'insieme immagine di una funzione continua.
Lezione 20 (Lunedi' 14 Novembre):
Teorema sulla continuità della funzione
inversa (senza dim.).
Teorema di monotonia (senza dim.)
Esercizi: limiti
di funzioni esponenziali e logaritmiche e limiti con stime asintotiche.
Lezione 21 (Mercoledi' 16 Novembre):
Nozione di funzione derivabile in un punto.
Interpretazione geometrica.
Punti angolosi, cuspidi e flessi.
Legame fra derivabilità
e continuità.
Algebra delle derivate.
Regola di Leibniz (con dim).
Derivata della funzione composta (con dim.)
Lezione 22 (Giovedi' 17 Novembre):
Derivata della funzione inversa (con dim.).
Derivate delle funzioni elementari.
Esercizi.
Lezione 23 (Venerdi' 18 Novembre):
Teorema di Fermat (con dim.).
Teorema di Rolle (con dim.).
Teorema di Lagrange (con dim.).
Test di monotonia (con dim.).
Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli (con dim.).
Lezione 24 (Lunedi' 21 Novembre):
Teorema di de l'Hopital (senza dim.).
Applicazione allo studio della derivabilità
(con dim.).
Esercizi:calcolo di limiti.
Lezione 25 (Mercoledi' 23 Novembre):
Nozione di funzione convessa in un punto.
Interpretazione geometrica.
Punti di flesso.
Legame fra convessità
e derivata seconda.
Lezione 26 (Giovedi' 24 Novembre):
Studi di funzione.
Lezione 27 (Venerdi' 25 Novembre):
Studi di funzione.
Definizione di o piccolo.
Formula di Taylor fino al secondo ordine (con dim.).
Lezione 28 (Lunedi' 28 Novembre):
Formula di Taylor con resto di Peano (dim. fino a n=2).
Sviluppi notevoli. Studi di funzione.
Lezione 29 (Mercoledi' 30 Novembre):
Formula di Taylor con resto di Lagrange.
Sviluppi di funzioni composte. Operazioni con gli sviluppi
(somme, prodotti, quozienti). Algebra degli o-piccolo.
Lezione 30 (Giovedi' 1 Dicembre):
Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
Lezione 31 (Venerdi' 2 Dicembre):
Serie numeriche. Def. di serie convergenti, divergenti, indeterminate.
Condizione necessaria.
Serie geometrica, serie di Mengoli.
Lezione 32 (Lunedi' 5 Dicembre):
Serie numeriche a termini positivi.
Criterio del confronto (con dim.).
Serie armonica e serie armonica generalizzata.
Lezione 33 (Mercoledi' 7 Dicembre):
Serie numeriche a termini positivi.
Criterio del confronto asintotico (con dim.).
Criterio della radice (con dim.).
Criterio del rapporto (senza dim.).
Lezione 34 (Lunedi' 12 Dicembre):
Convergenza assoluta (con dim. del criterio).
Criterio di Leibniz (senza dim.).
Lezione 35 (Mercoledi' 14 Dicembre):
Integrazione indefinita. Definizione di primitiva.
Relazione tra primitive di una stessa funzione (con dim.).
Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Lezione 36 (Giovedi' 15 Dicembre):
Esercizi su serie numeriche e sviluppi di Taylor.
Lezione 37 (Venerdi' 16 Dicembre):
Integrazione
di funzioni razionali.
Teorema di fattorizzazione e di scomposizione in fratti semplici.
Lezione 38 (Lunedi' 19 Dicembre):
Integrale di Cauchy-Riemann.
Costruzione di somme superiori e inferiori.
Definizione di funzione integrabile secondo Cauchy.
Lezione 39 (Mercoledi' 21 Dicembre):
Principali proprietà dell'integrale definito.
Definizione di media integrale.
Teorema della media integrale (con dim.).
Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).
Lezione 40 (Lunedi' 9 Gennaio):
Integrali impropri su intervalli limitati. Definizione.
Criteri di convergenza: criterio del confronto (con dim.),
Esercizi
Lezione 41 (Mercoledi' 11 Gennaio):
Criteri di convergenza:
criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza
assoluta.
Integrali impropri su intervalli illimitati. Definizione.
Lezione 42 (Giovedi' 12 Gennaio):
Integrali impropri su intervalli illimitati:
criterio del confronto (con dim.),
criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza
assoluta.
Esercizi.
Lezione 43 (Venerdi' 13 Gennaio):
Nozione di equazione differenziale.
Definizione di soluzione. Modello di Malthus in dinamica delle popolazioni.
Equazioni a variabili separabili.
Lezione 44 (Lunedi' 16 Gennaio):
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, omogenee e non
omogenee.
Metodo di variazione delle costanti.
Lezione 45 (Mercoledi' 18 Gennaio):
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti omogenee.
Lezione 46 (Giovedi' 19 Gennaio):
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti non omogenee.
Lezione 47 (Venerdi' 20 Gennaio):
Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale di
Cauchy
(solo enunciato).
Lezione 48 (Venerdi' 20 Gennaio):
Simulazione di un compito d'esame.