Matematica (Corso di Laurea in Tecnologie Forestali e Ambientali)

Matematica (Corso di Laurea in Tecnologie Forestali e Ambientali) Dove e quando si svolgono le lezioni: Da Lunedì 7 Ottobre, le lezioni si terrano in:

Aula 21 Ca' Gialla, Agripolis (Legnaro) Lunedì dalle 9 alle 12. Giovedì dalle 14 alle 17.

Programma del corso e materiale didattico Il programma dettagliato del corso si può trovare qui: programma del corso. Per tutte le altre informazioni e per il materiale didattico lo studente è pregato di usare la piattaforma Moodle della Scuola di Agraria e Veterinaria a questo link. Si contatti il docente via e-mail per avere la chiave di accesso.

Una bella risposta a coloro che si pongono spesso questa domanda: Perchè la matematica?

Diario delle lezioni Lunedì 7 Ottobre: Presentazione del corso: programma di massima, organizzazione del corso, appelli, testi di riferimento e modalità di studio. Il tutto è raccolto in un documento scaricabile dal sito moodle del corso Presentazione. Nella prima lezione, dedicata ai richiami di matematica della scuola superiore, sono stati trattati i seguenti argomenti: concetto di insieme, notazione, sottoinsieme proprio, operazioni tra insiemi (intersezione, unione e differenza). Relazioni tra insiemi, funzione. Piano cartesiano. Insiemi numerici e proprietà. Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali e reali. Dimostrazione che $\displaystyle \sqrt{2}$ è un numero irrazionale. Cenni sulla rappresentazione decimale dei numeri reali. Proprietà della relazione d'ordine definita in R. Valore assoluto di un numero e proprietà. Giovedì 10 Ottobre: Radicali. Potenze ad esponente intero, razionale e reale. Proprietà delle potenze. Esercizi. La retta reale. Intervalli. Proprietà degli insiemi di numeri reali: insiemi limitati e illimitati. Estremo superiore. Estremo inferiore. Massimo e minimo di un insieme (in caso di necessità quest'ultima parte è consultabile a pagg. 91--95 del libro di richiami). Lunedì 14 Ottobre: Il piano cartesiano. Retta: equazione implicita (ax+by=c=0) ed equazione esplicita (y = mx + q); Coefficiente angolare; Come ottenere il coefficiente angolare come rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dati due punti della retta; coefficiente angolare come tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x; Condizione di parallelismo e di perpendicolarità di due rette in forma esplicita. Parabola: equazione e grafico, casi possibili in funzione del segno del discriminate e della concavità della parabola; Coordinate del vertice. Circonferenza. Disequazioni: di primo grado e di secondo grado. Sistemi di disequazioni. Esercizi. (Capitolo 2 del libro) Funzione. Funzione reale di variabile reale. Dominio e codominio. Immagine di una funzione. Grafico di una funzione. La retta come funzione. Funzioni combinate: modulo e segno, e rispettivi grafici. Funzioni pari e dispari. Giovedì 17 Ottobre: (Capitolo 2 del libro) Funzioni pari e dispari. Esempi. Grafico di una funzione pari simmetrico rispetto all'asse y. Grafico di una funzione dispari simmetrico rispetto all'origine. Funzione iperbole equilatera. Funzione esponenziale. Funzioni limitate e illimitate. Massimo e minimo di una funzione. Punto di massimo e punto di minimo. Definizione di funzione monotona. Funzione composta. Funzione iniettiva. Funzione inversa. Come calcolare la funzione inversa di una funzione. Grafico della funzione inversa. Funzione monotona in senso stretto allora invertibile. Definizione di logaritmo. Funzione Logaritmo come inversa della funzione esponenziale. Grafico. Proprietà del logaritmo. Lunedì 21 Ottobre: Esercizi su esponenziale e logaritmo. Funzione potenza e rispettivo grafico. Confronto tra i grafici di varie funzioni potenza. Grafico di funzioni riconducibili a funzioni elementari: a partire dal grafico di y = f(x), disegnare facilmente quello di y=f(x) +k, y=-f(x), y=|f(x)|, y=f(|x|). Esercizi. Disequazioni con la regola dei segni (razionali), irrazionali e con i moduli. Esercizi. (In caso di necessità si consulti l'appendice B del libro). Giovedì 24 Ottobre: Trigonometria piana: misura degli angoli in radianti, la circonferenza goniometrica. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente. Esistenza. Relazioni fondamentali della trigonometria. Relazioni immediate tra seni e coseni di angoli particolari dedotte dalla circonferenza goniometrica. Identità dedotte dalle relazioni fondamentali. Valore delle funzioni trigonometriche in angoli particolari (tabella primo quadrante). Formule di addizione, sottrazione e duplicazione. Grafico delle funzioni trigonometriche. Definizione delle funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno e arcotangente). Dominio e immagine delle funzioni trigometriche inverse. Grafico. Per consultazione: capitolo 5 del libro di Richiami. Disequazioni con i moduli: esercizi. Lunedì 28 Ottobre: Limiti di funzioni reali di variabile reale: punto di accumulazione (definizione ed esempi). Definizione di limite finito in un punto. Limite della funzione costante e della funzione identica. Definizione di infinitesimo. Infinitesima per limitata uguale infinitesima. Esempio: $\displaystyle \lim_{x \to 0 } x \cos{\frac{1}{x} = 0}$. Definizione di limite destro e limite sinistro. Limite finito all'infinito (definizione e interpretazione grafica: esistenza di asintoto orizzontale). Limite infinito all'infinito. Limite infinito in un punto (asintoto verticale). Teoremi sui limiti (Unicità, Permanenza del segno, Teorema del confronto). Limiti e operazioni (limite della somma di funzioni, della differenza, del prodotto, del reciproco, del quoziente). Regole di calcolo di limiti e forme indeterminate $\displaystyle (+ \infty) + (- \infty), 0 \cdot \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}$. Calcolo di limiti a $\displaystyle (\pm \infty) $ di polinomi e funzioni razionali. Esercizi. Limiti di funzioni razionali in forma indeterminata $\frac{0}{0}$, fattorizzazione dei polinomi al numeratore e al denominatore. Esempi. Giovedì 31 Ottobre: Definizione di funzione continua in un punto del suo dominio. Esempi. Continuità delle funzioni elementari. Continuità e operazioni algebriche. Funzione composta e continuità: limite della funzione composta; Esempi. Teorema: la composta di funzioni continue è continua. Esercizi su calcolo di limiti in forma indeterminata $\displaystyle (+ \infty) + (- \infty) $ e con la funzione esponenziale. Limiti Fondamentali: primo limite fondamentale $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x }{x}. \ $ Esercizi. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = e$, esteso a funzione di variabile reale per la dimostrazione del secondo limite fondamentale: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x}$. Esercizio. Per consultazione: capitolo 4 del libro. Esercizi sul calcolo di limiti (con risultati) accessibili via Moodle. Lunedì 4 Novembre: Esercizi sugli argomenti della lezione precedente: calcolo di limiti; data una funzione calcolare il dominio, dire se è continua, calcolare i limiti significativi. Teoremi delle funzioni continue definite in un intervallo: Weierstrass, degli zeri, di tutti i valori. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Limite del rapporto incrementale. Significato geometrico della derivata di una funzione f(x) in un punto $x_0$ (coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa $x_0$). Calcolo della derivata in un punto di alcune funzioni elementari. Derivata destra e derivata sinistra. Funzioni non derivabili in un punto. Criterio per stabilire la non derivabilità di una funzione in un punto (non esistenza del limite del rapporto incrementale, derivata destra diversa dalla derivata sinistra, limite infinito del rapporto incrementale). Relazione tra continuità e derivabilità: una funzione derivabile in $x_0$ è continua in $x_0$. L'implicazione inversa non è vera. Funzione derivata. Derivate delle funzioni elementari: costante, x, $x^n$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\log x$. Derivata e operazioni (derivata della somma, del prodotto del reciproco e del quoziente di funzioni). Esercizi. Derivata della funzione composta (regola della catena). Esercizi. Per consultazione: capitolo 5 del libro. Giovedì 7 Novembre: Derivate delle funzioni $x^\alpha$, e come caso particolare $\sqrt{x}$, $a^x$, $\log_a x$, $arc\sin x$, $arc\cos x$, $arc\tan$. Esercizi di calcolo di derivate. Regola di L'Hopital per limiti in forma indeterminata $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}$. Esercizi. Applicazione di L'Hopital per limiti in forma indeterminata $ 0 \cdot \infty$. Esercizio. Studio di funzione: obbiettivo produrre un grafico qualitativo della funzione che rispecchi le principali caratteristiche di essa: positività, crescenza, decrescenza, massimi e minimi, asintoti, concavità, convessità, flessi. PASSI: 1) Dominio 2) Segno 3) Simmetrie (funzione pari o dispari) 4) Limiti significativi . Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Studiato il metodo di calcolo di asintoti obliqui. 5) Intervalli di monotonia della funzione determinati mediante il segno della sua derivata prima. Calcolo di massimi e minimi relativi. Definizione di massimo e minimo relativo ( o locale) di una funzione. Distinzione dal concetto di massimo e minimo assoluto. Un massimo assoluto può essere anche minimo relativo (se non è uno degli estremi dell'intervallo di definizione della funzione). Una funzione può avere più massimi e minimi relativi e non avere massimo o minimo assoluto (se è illimitata). Teorema: se in un intervallo la derivata prima della funzione è positiva la funzione è crescente, se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente. Punti di massimo relativo individuati in quei valori del dominio dove la derivata prima passa da crescente a decrescente, e punti di minimo relativo individuati come punti del dominio dove la derivata prima passa da decrescente a crescente. Teorema: Se $x_0$ è punto di massimo o punto di minimo relativo di $f(x)$ e $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f'(x_0) = 0$. Esercizi. Per consultazione: capitoli 6 e 7 del libro. Accessibile via moodle l'ultima raccolta di esercizi proposti prima del compitino del 16 Novembre. Lunedì 11 Novembre: Calcolo della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di ascissa $x_0$ ( $\displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)).$ Esercizi. Esercizi di ricapitolazione sul calcolo di limiti, anche con la regola di L'Hopital. Esercizio sul calcolo degli asintoti di una funzione. Esercizi di calcolo di massimi e minimi relativi e assoluti. Definizione di funzione concava o convessa in un intervallo. Definizione di punto di flesso di una funzione, come punto in cui la funzione cambia concavità. In $x_0$ la funzione $f(x)$ ha un flesso orizzontale se $f'(x_0) = 0$ (in quel punto la retta tangente al grafico della funzione è parallela all'asse x). Esempio: la funzione $x^3$ in $x=0$ ha un flesso orizzontale. Criterio pratico per determinare gli intervalli in cui una funzione è concava o convessa: (Teorema) se in un intervallo la derivata seconda della funzione è positiva la funzione è convessa, se la derivata seconda è negativa la funzione è concava. Se $x_0$ è punto di flesso di $f(x)$ e $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f''(x_0) = 0$. Esercizi di studio della concavità/convessità di una funzione e calcolo dei punti di flesso. Prossima lezione: Mercoledì 13 Novembre dalle 14 alle 17 in Aula Magna (Pentagono) Esercitazioni di Matematica Giovedì 14 Novembre dalle 13 alle 15 in Aula 21 CG. Mercoledì 13 Novembre: Tre ore di esercizi su studio di funzioni. Studiate alcune funzioni razionali, con l'esponenziale come fattore o al numeratore/denominatore di un quoziente di funzioni, funzioni con il valore assoluto e funzioni con il logaritmo. Lunedì 18 Novembre: Correzione del compitino del 16 Novembre. Applicazione del calcolo differenziale: problemi di massimo/minimo. Esercizio. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange ( o del valor medio). Interpretazione geometrica (esiste un punto c interno all'intervallo [a, b] tale che la retta secante che passa per (a, f(a)) e (b, f(b)) e la retta tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa c sono parallele (hanno lo stesso coefficiente angolare). Ovvero, il rapporto incrementale relativo a due punti a e b coincide con la derivata calcolata in un punto interno all'intervallo [a,b]. Dimostrazione el Teorema di Lagrange. Corollari del T. di Lagrange: Se una funzione definita in I ha derivata nulla in ogni punto di I allora è costante. Se due funzioni definite nello stesso intervallo hanno la stessa derivata in ogni punto allora la loro differenza è una costante. Dimostrazione. Per consultazione: pagg: 164-167 del libro. Differenziale di una funzione in un punto. Interpretazione geometrica. Esempi. Primitiva di una funzione. Esempi. Integrale indefinito. Lunedì 25 Novembre: Calcolo Integrale: tabella di primitive delle funzioni elementari. Linearità dell'integrale indefinito. Vari esempi di calcolo di integrali immediati, ovvero quelli che si possono ricondurre mediante dei semplici passaggi algebrici (o trigonometrici) al calcolo di integrali noti. Calcolo di primitive di potenze con base diversa da $x$. Esempi. Metodo di integrazione per parti. Esercizi. Integrazione per parti ripetuta. Metodo di sostituzione. Esercizi. Per consultazione: capitolo 9 del libro. Esercitazioni di Matematica (sul calcolo di primitive) mercoledì 21 Novembre dalle 13 alle 15 in Aula 21 CG. Giovedì 28 Novembre: Calcolo di primitive di funzioni razionali. Esercizi. Integrale definito di una funzione $f(x)$ in $dx$ nell'intervallo $[a,b]$. L'integrale definito di una funzione positiva o nulla in $[a,b]$ rappresenta l'area della zona di piano compresa tra il grafico della funzione $f(x)$ e l'asse x nell'intervallo $[a,b]$. Significato dell'integrale definito $\int_a^b f(x) dx$ di una funzione $f(x) \leq 0$ in $[a,b]$. Proprietà dell'integrale definito: additività, linearità e isotonia. Calcolo dell'area della parte di piano compresa tra l'asse x e il grafico di una funzione in un intervallo $[a,b]$ nel caso generale in cui la funzione cambia segno all'interno dell'intervallo. Calcolo dell'area della parte limitata di piano compresa tra due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ in [a,b] tali che $f(x) \leq g(x), \, \forall x \in [a,b]$ come $\int_a^b (g(x)-f(x)) dx$ . Lunedì 2 Dicembre: Calcolo degli integrali definiti: Teorema della media integrale; Teorema di Torricelli; Dimostrazione; Teorema fondamentale del calcolo integrale; Dimostrazione. Esercizi di calcolo di aree di figure piane mediante integrazione. Per consultazione pagg. 273-278 del libro. Giovedì 5 Dicembre: Equazioni differenziali: introduzione alle equazioni differenziali. Definizione. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Procedura di risoluzione. Esercizi. Risoluzione di un problema con una equazione differenziale lineare del primo ordine. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Esempio e procedura di risoluzione. Per consultazione capitolo 13 del libro. Lunedì 9 Dicembre: Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Esercizi. Equazione della crescita esponenziale $y'(t) = R y(t)$ con $R$ numero reale detto tasso continuo di crescita (può essere positivo o negativo). Risoluzione di questa equazione differenziale mediante separazione di variabili e mediante la procedura di risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Applicazione dell'equazione differenziale della crescita esponenziale al modello di crescita di una popolazione con risorse illimitate. Cenni al modello non lineare a risorse limitate: $y'(t) = R y(t) (M - y(t))$ . Esercizi. Per consultazione: capitolo 13 del libro. Esercitazioni di Matematica mercoledì 11 Dicembre dalle 13 alle 15 in Aula 1 SS(Seconda Stecca). Giovedì 12 Dicembre: Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Procedura di risoluzione dell'equazione omogenea, in funzione delle radici dell'equazione caratteristica associata (polinomio di secondo grado). Esercizi. Risoluzione di problemi di Cauchy del secondo ordine. Esercizi. Per consultazione capitolo 14 del libro pagg 390-396 oppure la dispensina a cura del docente reperibile su moodle. Geometria analitica nello spazio tridimensionale: grandezze scalari e vettoriali. Le grandezze vettoriali (ad esempio una forza) sono determinate da una intensità, una direzione e un verso. Per rappresentare una grandezza vettoriale si usano i vettori geometrici. Definizione di segmento orientato. Segmenti orientati equivalenti (stessa direzione, verso e lunghezza). Concetto di vettore (insieme di tutti i segmenti orientati equivalenti a uno dato). Lunedì 16 Dicembre: Geometria analitica nello spazio tridimensionale: grandezze scalari e vettoriali. Segmenti orientati. Segmenti orientati equivalenti: quelli che hanno la stessa lunghezza, direzione e verso). Concetto di vettore (insieme di tutti i segmenti orientati equivalenti a uno dato). Vettore nullo. Modulo di un vettore. Definizione di versore come vettore di modulo 1. Vettori paralleli. Vettore opposto. Operazioni con vettori: somma e prodotto per uno scalare. Multiplo di un vettore. Coordinate cartesiane di un vettore nello spazio: sistema di riferimento (o, i,j,k). Le coordinate del vettore $v$ sono (x,y,z) se $ v = x i + y j + z k$. Come si lavora con i vettori espressi mediante le loro coordinate: somma, prodotto per uno scalare, modulo. Esercizi. Prodotto scalare di due vettori. Angolo formato da due vettori. Condizione di perpendicolarità tra due vettori non nulli. Esercizi. Esercitazioni di Matematica Martedì 17 Dicembre dalle 9 alle 11 in Aula 21 CG. Mercoledì 18 Dicembre: Esercizi su scomposizione di vettori e prodotto scalare. Matrici. Definizione. Dimensione di una matrice. Matrice quadrata. Operazioni con matrici: somma e prodotto per uno scalare. Prodotto di una matrice per un vettore. Determinante di una matrice quadrata. Determinante di una matrice di ordine 2. Determinante di matrici di ordine 3: Regola di Sarrus. Formula di Laplace. Esercizi di calcolo di determinanti. Prodotto vettoriale di due vettori. Interpretazione geometrica. Proprietà del prodotto vettoriale. Calcolo del prodotto vettoriale. Esercizio. Per consultazione capitolo 11 del libro. Esercitazioni di Matematica Mercoledì 8 Gennaio dalle 13.30 alle 15.30 in Aula 21 CG. Prossima lezione: Giovedì 9 Gennaio dalle 14 alle 17 in Aula 21 CG. Giovedì 9 Gennaio: Esercizi su vettori, prodotto vettoriale, scalare e angolo tra vettori. Sistemi di equazioni lineari. Sistema lineare scritto matricialmente come prodotto di una matrice per il vettore delle incognite uguagliato al vettore dei termini noti. Metodo di eliminazione di Gauss per trasformare il sistema originale da risolvere in un altro equivalente (con la stesse soluzioni) ma più semplice da risolvere (triangolare). Operazioni elementari del Metodo di Eliminazione di Gauss. Procedura. Esempi. Per consultazione dispensa di Algebra lineare reperibile alla piattaforma moodle del corso. Lunedì 14 Gennaio: Rango di una matrice. Calcolo del rango di una matrice A come numero di righe non nulle che restano dopo aver applicato ad A il metodo di eliminazione di Gauss per azzerare gli elementi sotto la diagonale principale, e dopo aver eliminato, alla fine di questo processo, eventuali rige proporzionali ad una riga data. Determinazione del numero di soluzioni di un sistema lineare: Teorema di Rouche - Capelli. Dato un sistema con $m$ equazioni ed $n$ incognite (la matrice $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$) si hanno le seguenti situazioni: a) Se Rg($A$) = Rg($A|{\mathbb{b}}) = n \qquad \Longrightarrow \quad$ il sistema ammette una soluzione. b) Se Rg($A$) = Rg($A|{\mathbb{b}}) < n \qquad \Longrightarrow \quad $ il sistema ammette infinite soluzioni. c) Se Rg($A) \ne $ Rg($A|{\mathbb{b}}) \qquad \qquad \Longrightarrow \quad$ il sistema non ammette soluzioni (si dice allora che il sistema è incompatibile). Esercizi. Sistemi quadrati (stesso numero di equazioni che di incognite): criterio del determinante, se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero allora il sistema ammette una e una sola soluzione. Se il determinante è zero allora il sistema puó avere infinite soluzioni o nessuna. Esercizi. Sistemi omogenei: un sistema omogeneo (vettore termine noto formato da tutti zeri) ammette sempre almeno una soluzione, ed è il vettore nullo. Il Teorema di Rouche-Capelli nel caso del sistema omogeneo diventa: a) Se Rg($A$) = Rg($A|{\mathbb{b}}$) = $n \qquad \Longrightarrow \quad$ il sistema ammette una soluzione (vettore nullo). b) Se Rg($A$) = Rg($A|{\mathbb{b}}) < n \qquad \Longrightarrow \quad$ il sistema ammette infinite soluzioni. Non è possibile che Rg($A) \ne $ Rg($A|{\mathbb{b}}$). Esercizi. Per consultazione dispensa di Algebra lineare reperibile alla piattaforma moodle del corso. Esercitazioni di Matematica Mercoledì 15 Gennaio dalle 13.30 alle 15.30 in Aula 21 CG. Giovedì 16 Gennaio: Ultima Lezione del corso: Esercizi di ricapitolazione sugli argomenti del secondo compitino.

Esercitazioni di Matematica nella settimana del 20 al 24 Gennaio con la Dott.ssa Schirinzi.

Orario:

Lunedì: 14 - 17 aula 21 CG

Giovedì: 14 - 17 aula 21 CG

DATE DEI COMPITINI E DELLE PROVE DI ACCERTAMENTO Primo compitino 16/11/2013 ore 9.30 Aula Magna Visione compiti in aula 21 CG Giovedì 28 Novembre dalle 13.30 alle 14.00 e dalle 16.45 alle 17.15. Secondo compitino 18/01/2014 ore 9.30 aula 1P Visione compiti insufficienti su appuntamento. Disponibile su moodle il testo e le soluzioni del secondo compitino. Prima prova 29/01/2014 ore 9.30 aula 14P Iscrizioni aperte tramite uniweb dal 8/01/2014 al 27/01/2014. Disponibile su moodle. il testo della prova scritta del 29/01/2014 e la relativa soluzione. Prima registrazione 06/02/2014 ore 9.30 aula 21 CG Attenzione: è necessario iscriversi alla lista d'esame tramite uniweb entro il 4/02/2014. 2a prova 17/02/2014 ore 9.30 Visione compiti insufficienti giorno 24/02/2014 ore 11.30 aula 4CG (dopo la registrazione). Disponibile su moodle il testo del compito e la relativa soluzione.

Seconda registrazione 24/02/2014 ore 9.30 aula 4CG Attenzione: è necessario iscriversi alla lista d'esame tramite uniweb entro il 22/02/2014.

3a prova 18/06/2014 ore 9.30 aula 17P Attenzione: lista di iscrizione all'esame tramite uniweb aperta da Lunedì 19 Maggio 2014. La lista si chiude il 16 Giugno 2014.

3a registrazione 26/06/2014 ore 9.30 aula 4CG

Attenzione: Il quarto appello (prova scritta) di Matematica TFA programmato per il 4/07/2014 ore 9.30 e' stata spostata al giorno: 11/07/2014 ore 9.30 aula 17P. Attenzione: La registrazione del quarto appello di Matematica TFA programmata per il 11/07/2014 ore 9.30 e' stata spostata al giorno: 18/07/2014 ore 9.30 aula 1CG.

5a prova scritta 12/09/2014 ore 9.30 aula 21 CG.

5a registrazione 17/09/2014 ore 10.00 aula 4CG