Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze ApplicateUniversità degli Studi
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Fisica Matematica

Vi partecipano:
    S. Bressan, A. Montanaro, D. Pigozzi, A. Pitteri, G. Zanzotto.

Descrizione delle ricerche

Le ricerche del gruppo dei fisici matematici afferenti al Dipartimento si sono concentrate sulla costruzione di modelli matematici, basati sui metodi della termomeccanica dei continui, per l'indagine di vari fenomeni fra i più importanti nella scienza dei materiali, soprattutto solidi. Tra i materiali oggetto di indagine vi sono i nuovi materiali 'attivi' come, ad esempio, le leghe con memoria di forma.
Oggetti principali di studio sono state la teoria costitutiva, le transizioni di fase nei solidi cristallini (e i fenomeni collegati, quali la geminazione, l'isteresi, la memoria di forma, gli effetti superficiali) e l'analisi delle proprietà dei solidi mediante propagazione ondosa.
Le indagini hanno affrontato la formulazione assiomatica e lo studio dei modelli, senza trascurare né le tecniche di analisi numerica né il confronto con i dati sperimentali.
Lo studio delle transizioni di fase nei cristalli si svolge anche nell'ambito di un programma TMR della Comunità Europea, di cui M. Pitteri è coordinatore generale, e al quale partecipano, con un comune programma di ricerca, otto gruppi di ricerca di cinque paesi europei.
Più in dettaglio, le ricerche possono essere così descritte:
 

  • Studio delle equazioni costitutive, compresa l'assiomatica.

  • a) Collegamento tra descrizioni molecolare e continua dei solidi cristallini e problemi relativi. Sviluppo di appropriate equazioni costitutive che, grazie alle loro proprietà di invarianza e non-convessità, sono adatte a descrivere il comportamento di materiali cristallini polifase, per esempio leghe con memoria di forma. Studio delle implicazioni che la simmetria del reticolo ha sulle proprietà di invarianza delle equazioni costitutive per i solidi cristallini, sia nel caso di reticoli semplici che in quello dei multireticoli. A questo fine è stata necessaria una dettagliata indagine preliminare su alcuni problemi basilari della geometria, simmetria e cinematica dei multireticoli. Studio sistematico dei tipi di simmetria dei multireticoli più semplici. Estensione delle ricerche alle proprietà elettromagnetiche e di magnetostrizione dei solidi cristallini.
    b) Caratterizzazione della classe dei corpi rigidi conduttori di calore globalmente equivalenti ad uno dato. Descrizione di un procedimento teorico, utilizzante la teoria dell'omogeneizzazione di materiali, con il quale costruire corpi (di semplice forma geometrica) che sono tra di loro globalmente equivalenti anche se fisicamente diversi. Come passo matematico preliminare per lo studio della equivalenza globale tra corpi con memoria, si sono trovate le soluzioni fisicamente significative di certi sistemi simmetrici di PDE lineari e a coefficienti costanti, aventi come incognite funzionali del tipo costitutivo per materiali con memoria evanescente. Per dare aderenza fisica completa alle dette soluzioni si sono affrontate alcune notevoli difficoltà concettuali dovute al fatto che la nozione classica di differenziabilità su insiemi aperti in spazi di Banach non è applicabile in quanto i domini costitutivi sono ovunque privi di punti interni. Si è quindi provveduto a costruire una teoria per la differenziabilità di mappe definite su sottoinsiemi convessi, possibilmente ovunque non densi, di spazi di Banach.
     
  • Studio di proprietà strutturali di un materiale mediante onde.

  • a) Studio dell'effetto di piccole deformazioni iniziali (oppure di moti rigidi, in particolare di moti rotatori) sulla propagazione di onde incrementali di piccola ampiezza sovrapposte ad essi, in corpi solidi con prestress di varia natura.
    b) Propagazione di onde di piccola ampiezza in corpi linearmente elastici prestressati e con eventuali vincoli interni (ad esempio rinforzi direzionali lineari). Queste ricerche si fondano su una analisi della condizione di propagazione per piccole onde di spostamento sovrapposte ad una configurazione di equilibrio in un corpo con prestress di origine arbitraria. Risultati di questa analisi sono alcune proprietà qualitative di propagazione ed informazioni quantitative che consentono di caratterizzare le costanti materiali di un dato corpo. Si vede che le leggi di propagazione per onde progressive coincidono con quelle per onde di discontinuità. Ciò vale anche in presenza di vincoli materiali interni di qualunque tipo.
    c)Studio di proprietà acustiche di corpi ricoperti da membrane o piastre sottili di materiale piezoelettrico (sensori - attuatori) atte a controllarne ad esempio lo stato vibratorio.
     
  • Transizioni di fase nei solidi cristallini.

  • a) Studio delle transizioni di fase martensitiche deboli e rotture della simmetria nei reticoli semplici e loro classificazione; classificazione dei loro geminati di trasformazione; analisi sistematica della biforcazione e delle proprietà di stabilità. Queste ricerche forniscono uno schema generale in cui è possibile inquadrare lo studio di gran parte delle transizioni osservate sperimentalmente nei materiali cristallini multifase. Esse permettono inoltre di mettere in luce alcuni casi in cui si pensa sia possibile migliorare il comportamento macroscopico di certi leghe metalliche attive controllandone, attraverso le composizioni, i parametri reticolari: ciò permette infatti la formazione di geminati non-generici che dovrebbero a loro volta influenzare il comportamento macroscopico del materiale. Studio delle proprietà strutturali dei reticoli cristallini necessario per una migliore comprensione e un miglior controllo del loro comportamento (termo)meccanico. Questi risultati mostrano come la conoscenza e l'indagine teorica dettagliata dei fenomeni connessi con le transizioni di fase possano dare una guida allo scienziato dei materiali interessato alla creazione di materiali nuovi con migliorate caratteristiche. Studio di alcune semplici transizioni non deboli, quale quella tipica fcc-bcc del ferro.
    b) L'approccio variazionale tridimensionale ai problemi di equilibrio, nel quale il potenziale specifico è non-convesso ed è assente la densità superficiale, in generale è basato su metodi diretti e dunque sulla ricerca dei minimi assoluti. Ciò dà risultati soddisfacenti in molti casi, ma, per esempio, non può spiegare la formazione di microstrutture di scala finita, né può descrivere l'isteresi nei materiali multifase, che è tuttavia un fenomeno estremamente comune e importante nelle transizioni solido-solido. Per questi problemi la presenza di stati metastabili, cioè di minimi relativi per il funzionale dell'energia, è di fondamentale importanza, e diviene pure importante chiarire il ruolo, nel funzionale, dell'energia superficiale. L'analisi dei minimi relativi comincia solo ora ad essere affrontata sistematicamente, ed è impervia nel caso di continui tridimensionali; perciò ci si è preliminarmente dedicati allo studio di sistemi semplificati, discreti e uni-dimensonali. E' stato studiato il ruolo dei minimi relativi nell'isteresi per un sistema discreto di elementi bifase e il paesaggio energetico (minimi relativi, ecc.) di continui unidimensionali bifase in presenza di energia superficiale.
    c) Cristalli multifase: costruzione di una energia polinomiale capace di descrivere possibili fasi tetragonale, ortorombica, monoclima in un solido cristallino e la possibilità che tutte e tre coesistano. Studio esplicito del comportamento del solido vicino al punto triplo.
     
     
 
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Pagina modificata il 22 Luglio 2003