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Geometria

Vi partecipano:
    S. Chiaruttini, R. Gattazzo, C. Ronconi, E. Stagnaro.

Descrizione delle ricerche

L'attività del gruppo è stata in questi ultimi anni, ed è tuttora, prevalentemente rivolta ai seguenti temi:

  • Aggiunte canoniche e pluricanoniche a ipersuperficie algebriche di Pr .

  • Nella classificazione birazionale delle superficie algebriche, la teoria delle aggiunte canoniche e pluricanoniche ha avuto un ruolo senza dubbio fondamentale. Tale teoria, dovuta a Castelnuovo e Enriques, è stata, nell'ambito del gruppo, ripresentata e rielaborata con il linguaggio moderno della coomologia. Essa è stata poi estesa alle ipersuperficie algebriche di Pr .
    I risultati di tale teoria sono stati successivamente sfruttati per costruire esempi di superficie regolari di genere nullo, presentando per alcuni costruzioni diverse da quelle classiche, ed esempi di varietà tridimensionali con genere pg = 0, prima e seconda irregolarità q1 = q2 = 0 e con qualche plurigenere Pi >0, che risultano del tutto nuovi. Tutti gli esempi sono stati ottenuti come desingolarizzazione di ipersuperficie di P3 o di P4 aventi opportune singolarità.
    Attualmente gli studi condotti in questo settore sono rivolti principalmente alla costruzione di esempi che consentano di rispondere a quesiti tuttora aperti nella classificazione birazionale delle superficie e delle varietà tridimensionali.
    Le ricerche riguardanti le superficie sono rivolte in particolare alla costruzione di nuovi piani doppi di ordine maggiore di 10, di tipo generale e genere nullo.
    Per quanto riguarda le varietà tridimensionali, in conseguenza di un teorema di Iitaka, l'interesse del gruppo si concentra o su quelle con dimensione di Kodaira 0 oppure su quelle con dimensione di Kodaira 3, altrimenti dette di tipo generale.
    Gli studi sulle varietà tridimensionali con dimensione di Kodaira 0, sono rivolti, in particolare, a quelle con pg = 0, q1 = q2 = 0 e plurigeneri P2i = 1, P2i+1 = 0, allo scopo di stabilire quali, tra le proprietà delle superficie di Enriques, abbiano tra esse un analogo. E' stato ad esempio recentemente dimostrato che esistono varietà di questo tipo aventi un fascio di superficie regolari con dimensione di Kodaira 0 o una rete di curve ellittiche.
    Le ricerche condotte sulle varietà tridimensionali di tipo generale sono rivolte principalmente alla costruzione di esempi la cui mappa m-canonica risulti birazionale solo per m molto grande. In questo settore sono già stati ottenuti dei risultati: è stata determinata una varietà con q1 = q2 = 0, pg = 3 e mappa m-canonica associata birazionale se e solo se m  6.
    È stato poi costruito un ulteriore esempio: si tratta di una varietà con q1 = q2 = pg = 0 e P2 = 1. La relativa mappa m-canonica risulta birazionale se e solo se m  11.
    Sempre nello stesso ambito, è stata ottenuta una varietà con q1 = q2 = pg = P2 = 0 e P3 = 1. La relativa mappa m-canonica è, in questo caso, birazionale se e solo se m  14.
    Il divisore canonico di ciascuno di questi esempi non è numericamente effettivo.
     
  • Fattorialità e semifattorialità delle varietà algebriche

  • Per quanto riguarda questo argomento di ricerca, lo scopo è di caratterizzare le superficie algebriche del quarto ordine di P3 il cui anello delle coordinate omogenee è fattoriale o semifattoriale.
    Lo studio riguarda in particolar modo le superficie razionali del quarto ordine con un tacnodo. Recentemente, nell'ambito del gruppo, sono state individuate alcune tra esse aventi l'anello delle coordinate semifattoriale. Si congettura che esse siano le sole che verificano tale proprietà. Lo studio ulteriore è rivolto alla dimostrazione della congettura.
     
  • Nuove curve di diramazione di Campedelli e nuovi piani doppi di ordine maggiore di 10

  • Le curve di diramazione di Campedelli sono curve piane del 10o ordine con 6 punti [3,3] oppure con 5 punti [3,3] e un punto quadruplo.
    Per quanto riguarda le curve del primo tipo, nella letteratura vi sono solo esempi di curve spezzate in quattro componenti irriducibili.
    I risultati ottenuti in questo settore si possono così riassumere:
    1. sono state costruite curve di diramazione di Campedelli del primo tipo con tre componenti irriducibili. Il problema dell'esistenza di curve con due sole componenti irriducibili è tuttora aperto. La loro esistenza è connessa con l'esistenza di superficie numericamente di Campedelli con torsione Z/(2) o zero, esistenza discussa da molto tempo e tuttora non provata.
    2. Con riguardo alle curve di diramazione di Campedelli del secondo tipo, ne è stata costruita una irriducibile.
    3. Sono state inoltre costruite curve piane di grado> 10 definenti superficie numericamente di Burniat. Tra esse, una ha grado 22 ed è irriducibile. È congetturato che la corrispondente superficie numericamente di Burniat abbia torsione zero.

     
  • Massimo numero di nodi di una superficie algebrica

  • La ricerca riguarda sia la limitazione del massimo numero di punti doppi conici (nodi) di una superficie algebrica di grado n in P3, sia la costruzione di esempi di superficie con un elevato numero di nodi. Il problema, risolto nel secolo scorso per n    4 e recentemente per n = 5 e n = 6, è tuttora aperto per n> 6.
     
  • Massimo numero di cuspidi di una curva algebrica piana

  • La ricerca è rivolta alla costruzione di nuovi esempi di curve algebriche piane con un elevato numero di cuspidi ordinarie. Si tratta di un classico problema tuttora aperto.
     
 
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Pagina modificata il 31 Luglio 2003