Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze ApplicateUniversità degli Studi
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Analisi Matematica
Vi partecipano:
A.M. Bresquar, P. Ciatti, N. Garofalo, E. Gonzalez, G.P. Leonardi,
C. Sartori, M. Spera, O. Stefani, N. Trevisan, A. Zanardo, G. Zirello
Collaboratori esterni al Dipartimento:
E. Barozzi, F. Dobarro, L. Caffarelli, E. Lami Dozo, U. Massari,
M. Miranda, M. Motta, R. Pedrosa, F. Rampazzo, E. Sartori,
F. Segala, Zhongwi Shen.

Descrizione delle ricerche

La nostra attività di ricerca (che riguarda l’Analisi nonlineare, le Equazioni differenziali alle derivate parziali, il Calcolo delle variazioni e la Teoria geometrica della misura) si indirizza verso i seguenti filoni fondamentali:

Teoria geometrica della misura e Calcolo delle variazioni

a)
CURVATURE MISURE. I risultati ottenuti negli ultimi decenni nella teoria dell’area hanno contribuito enormemente alla comprensione delle proprietà tangenziali del primo ordine di insiemi di punti. La teoria dell’area a cui ci riferiamo è la teoria costruita da De Giorgi - Federer - Almgren (e moltissimi altri) nei primi anni 50, sulla base di vecchie e molto profonde idee di Renato Caccioppoli. La sfida attuale riguarda principalmente concetti geometrici di secondo ordine, come le curvature, che è naturale vedere come misure con particolari proprietà. Questa problematica (posta da H. Federer in modo esplicito nel 1959) ha resistito e resiste ancora dopo quasi 40 anni. I numerossisimi lavori sull’argomento affrontano il problema in condizion molto particolari (cioè sotto ipotesi di regolarità a priori molto forti) e danno risposte parziali. Il problema è di grande interesse di per sè per i suoi legami con problemi fondamentali di geometria differenziale (problema di Willmore) e di fisica matematica (segnatamente in questioni di elasticità). Un nuovo approccio è stato iniziato da noi in collaborazione con E. Barozzi ed U. Massari per la curvatura media nel caso di variet di codimensione 1. L’idea è di associare alla frontiera di ogni sottoinsieme misurabile E di Rn una funzione HE in L1(Rn) che coincide con la curvatura media nel caso regolare e che è caratterizzata dalla proprietà variazionale di minimizzare le norme Lp(Rn) nello spazio di tutte le possibili curvature per E. Inoltre, un’estensione della curvatura variazionale al caso di partizioni di perimetro finito con, eventualmente, un’infinità numerabile di componenti è stata recentemente considerata da G.P.Leonardi.
b)
QUESTIONI DI REGOLARITÀ PER FUNZIONALI DEL TIPO DELL'AREA. Un famosissimo risultato di E. De Giorgi afferma che una frontiera che minimizza localmente l’area è necessariamente una varietà analitica a meno di un eventuale insieme singolare che Federer-Simons dimostrarono avere dimensione di Hausdorff inferiore a n - 8 (n = dimensione spazio ambiente). In particolare, per n < 7, non ci sono singolarità, i.e. S è vuoto. Questo risultato fu successivamente esteso nel 1975 per minimi di funzionali in cui all’area si aggiungeva un ”bulk term” della forma  integral H(x)dx, con H in Lp, p > n, ed è immediato osservare che il risultato è falso per p < n. Il delicato caso limite p = n, che è rimasto aperto per più di 15 anni, è stato recentemente risolto da noi. Attualmente stiamo lavorando alla classificazione delle singolarità e alla ricerca di teoremi di struttura ”ottimali” nel caso p < n.
c)
INSIEMI DI PERIMETRO FINITO NEI GRUPPI DI CARNOT. Problema isoperimetrico nei gruppi di Carnot: esistenza e regolarità degli insiemi isoperimetrici, caratterizzazione dei candidati isoperimetrici simmetrici nei gruppi di Heisenberg Hn, la cui ottimalità in senso globale è tuttora non dimostrata. Studio delle relazioni che intercorrono fra volume (misura di Haar del gruppo), perimetro sub-riemanniano e metrica di Carnot-Caratheodory. Struttura degli insiemi di perimetro finito nei gruppi di passo superiore a 2.
d)
FUNZIONALI DI TIPO DIRICHLET CON VINCOLI DI VOLUME SU ALCUNI INSIEMI DI LIVELLO. Modelli di tipo ”free boundary” per l’ottimizzazione della dispersione termica (heat flow) e di tipo ”fluidi immiscibili”. Risultati di esistenza e regolarità nel caso vettoriale, in ipotesi di ”risposta Lipschitziana allo stretching radiale” dell’energia di tipo Dirichlet. Gamma-convergenza per il funzionale di Dirichlet (nel caso vettoriale e quando la somma dei volumi prescritti tende al volume dell’intero dominio) ad un funzionale limite di tipo ”area pesata” .
e)
STUDIO DELLE PROPRIETÀ DELLE MISURE APPROSSIMANTI DI HAUSDORFF. Localizzazione delle discontinuità di prima specie della misura approssimante. Relazione fra derivata e proprietà di curvatura della frontiera di un insieme. Deduzione di talune proprietà geometriche intrinseche di un insieme dalle proprietà della relativa misura approssimante. I risultati ottenuti riguardano in particolare insiemi piani che sono traccia di una curva rettificabile, per i quali una discontinuità della misura approssimante comporta l’esistenza di un insieme di ampiezza costante, sulla cui frontiera si trova una consistente porzione della curva. Si studiano anche proprietà degli insiemi ad ampiezza costante, per i quali si sono ottenute proprietà sui ricoprimenti e sulla curvatura della frontiera. Si sono costruiti esempi di insiemi ad ampiezza costante le cui misure approssimanti avessero un determinato ”gap”.

Equazioni differenziali alle derivate parziali

a)
Studio di equazioni e sistemi non lineari suggeriti da problemi in geometria CR con particolare riferimento al problema di Yamabe CR in co-dimensione maggiore di uno. Sui domini limitati uno dei principali ostacoli è costituito dalla presenza di punti caratteristici. In tali punti la soluzione del rilevante problema ai limiti subisce una perdita drastica di regolarità. La teoria classica non è applicabile e bisogna escogitare nuovi metodi. In ambito lineare un ruolo fondamentale è giocato dalla misura armonica associata a certi operatori non ellittici su gruppi di Lie nilpotenti. Uno dei principali risultati ottenuti (in collaborazione con L. Capogna e D.M. Nhieu) afferma che la misura armonica e la misura superficiale standard sono mutualmente assolutamente continue per un’ampia classe di domini includente gli esempi geometricamente più rilevanti. Fra questi ultimi, le palle della gauge non-isotropa in ogni gruppo di tipo Heisenberg e i livelli di certe funzioni che sono estremali nel teorema di immersione di tipo Sobolev di Folland-Stein.
b)
Per le equazioni non lineari associate al problema di Yamabe CR i risultati ottenuti con D. Vassilev dimostrano che in un dominio limitato, verificante certe ipotesi del tutto naturali e di facile verifica, quali la stretta stellarità e un’opportuna convessità in un intorno dell’insieme caratteristico, la soluzione con dato nullo al bordo possiede importanti propriet di regolarità. In particolare, essa ha gradiente orizzontale e derivata di Lie lungo il generatore delle dilatazioni nonisotrope ambedue globalmente limitati. Tali proprietà di regolarità consentono di dimostrare un’identità di Pohozaev sub-ellittica che implica la non-esistenza di soluzioni non banali. Usando la struttura conforme dell’equazione e l’inversione CR scoperta da Koranyi per il gruppo di Heisenberg, e da Cowling, Dooley, Koranyi e Ricci per i gruppi di Iwasawa, si dimostra la non-esistenza di soluzioni non banali in certi domini caratteristici illimitati che includono i semi-spazi caratteristici. Per soluzioni intere, cioè soluzioni su tutto il gruppo, sempre con D. Vassilev si è dimostrato un risultato di simmetria parziale del tipo seguente. Se una soluzione intera dell’equazione di Yamabe CR ammette simmetria nelle variabili del primo strato della stratificazione dell’algebra di Lie, allora essa dev’essere globalmente simmetrica. Inoltre il metodo adoperato consente di determinare esplicitamente tale soluzione, a meno di traslazioni a sinistra sul gruppo.
c)
In un ambito diverso, in collaborazione con E. Sartori si è studiato il problema della simmetria nel problema capacitario per equazioni non lineari di tipo p-Laplaciano. Il risultato principale afferma che l’unica configurazione che ammette potenziale p-capacitario avente flusso costante sul bordo del condensatore è la configurazione a simmetria sferica. Si è anche studiato il flusso del calore associato alla p-energia |Du|p e per il corrispondente problema sovradeterminato in un cilindro illimitato spazio-temporale si è dimostrata la simmetria sferica della soluzione e del dominio di base.
d)
EQUAZIONI DI HAMILTON-JACOBI. Si studiano problemi di esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni di viscosità di equazioni di Hamilton-Jacobi del primo e del secondo ordine con Hamiltoniani degeneri e di equazioni del secondo ordine completamente non lineari, ellittiche o ellittiche degeneri.

Analisi armonica

Studio di proprietà di limitatezza di operatori a integrali singolari definiti su gruppi nilpotenti o su domini in C n. Studio delle proprietà della trasformata di Fourier su gruppi non commutativi.

Teoria del controllo ed equazioni differenziali ordinarie

a)
PROBLEMI DI CONTROLLO OTTIMO NON LINEARE. Si trattano vari problemi di controllo, (tempo d’uscita, Mayer etc.) con vincoli di stato, vincoli integrali e con controlli non limitati. Si caratterizza la loro funzione valore quale unica soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman corrispondente, con opportune condizioni al bordo. Se ne studia inoltre la regolarità.
b)
COMPORTAMENTO ASINTOTICO E CRITERI DI ASCILLAZIONE PER LE SOLUZIONI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta, nonostante la vastissima letteratura relativa ai criteri di oscillazione per l’equazione stessa, non risultano esistere condizioni necessarie e sufficienti (coinvolgenti soltanto i coefficienti dell’equazione) che assicurino che essa sia oscillante. Si cerca quindi di investigare in questo senso. Per l’equazione non lineare si cercano condizioni sufficienti perché tutte le soluzioni prolungabili siano oscillanti. E’ noto infatti che per questa equazione non vale il teorema di Sturm-Liouville (valido nel caso lineare) che assicura che se una soluzione è oscillante lo sono tutte le altre.

Analisi e Geometria differenziale in dimensione infinita

a)
Approccio simplettico al problema di Yang-Mills in geometria differenziale non commutativa.
b)
Varietà Kähleriane associate a fluidi perfetti e loro quantizzazione.
c)
Geometria differenziale e algebrica della Grassmanniana di Sato-Segal-Wilson: approccio C*-algebrico.
d)
Geometria differenziale intrinseca ed estrinseca di gruppi di lacci basati (based loop groups). Spinori e operatori di Dirac su loop spaces.

 
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Pagina modificata il 31 Luglio 2003